# Princípio de Máxima Verossimilhança

O **Princípio de Máxima Verossimilhança** é uma maneira de estimar parâmetros desconhecidos de um modelo a partir dos dados observados.

> **Escolher o valor do parâmetro que torna os dados que observamos mais plausíveis segundo o modelo.**

Por exemplo: depois de lançar uma moeda várias vezes, qual probabilidade de sair cara melhor explica os resultados?

## 1. Exemplo: uma moeda possivelmente viciada

Suponha que lançamos uma moeda **10 vezes**, obtendo **7 caras e 3 coroas**.

Chamaremos de $p$ a probabilidade desconhecida de sair cara. A probabilidade de sair coroa será $1-p$.

Assumindo lançamentos independentes, a probabilidade da **sequência específica observada** é:

$$
L(p)=\underbrace{p\times\cdots\times p}_{7\text{ caras}}\times\underbrace{(1-p)\times\cdots\times(1-p)}_{3\text{ coroas}}
$$

Portanto:

$$
\boxed{L(p)=p^7(1-p)^3}
$$

Essa é a **função de verossimilhança**. Mantemos os resultados fixos e experimentamos diferentes valores de $p$.

| Valor candidato de $p$ | Verossimilhança $L(p)$ |
|---:|---:|
| 0,20 | 0,00000655 |
| 0,50 | 0,00097656 |
| **0,70** | **0,00222357** |
| 0,90 | 0,00047830 |

Observe que $p=0{,}90$ favorece bastante as caras, mas torna as **três coroas** pouco plausíveis. Precisamos explicar o conjunto dos resultados.

![Curva de verossimilhança para sete caras e três coroas, com máximo em p igual a 0,70.](verossimilhanca_moeda.png)

O ponto mais alto da curva ocorre em:

$$
\boxed{\hat p=\frac{7}{10}=0{,}70}
$$

O símbolo $\hat p$, lido como “p chapéu”, indica uma **estimativa**.

Isso não prova que a moeda tenha exatamente 70% de probabilidade de cara. Significa que **0,70 é o valor que maximiza a verossimilhança desses dados**.

*Observação:* se considerarmos apenas a contagem “7 caras em 10 lançamentos”, sem uma ordem específica, usamos $\binom{10}{7}p^7(1-p)^3$. Esse fator constante não altera o ponto de máximo.

## 2. Probabilidade e verossimilhança: o que muda?

Usamos a mesma expressão matemática, mas mudamos o que está fixo e o que queremos investigar.

| Perspectiva | O que está fixo? | Pergunta |
|---|---|---|
| **Probabilidade** | O parâmetro $p$ | “Se $p=0{,}50$, quais resultados podem ocorrer?” |
| **Verossimilhança** | Os dados observados | “Obtive 7 caras e 3 coroas: quais valores de $p$ explicam melhor esses dados?” |

**Verossimilhança não é a probabilidade de o parâmetro ser verdadeiro.** Por exemplo, $L(0{,}70)$ não representa a probabilidade de que $p=0{,}70$.

No gráfico, a curva foi dividida por seu valor máximo para facilitar a comparação. A altura 1 significa “maior verossimilhança”, e não “100% de certeza”.

## 3. Exemplo: estimar a média de uma distribuição normal

Considere três medidas independentes:

$$
8,\quad 10,\quad 12
$$

Suponha que elas venham de uma distribuição normal com **média desconhecida $\mu$** e **desvio padrão conhecido $\sigma=2$**.

Vamos comparar três médias candidatas: $6$, $10$ e $14$.

![Distribuições normais com médias candidatas 6, 10 e 14, e curva de verossimilhança com máximo em média 10.](verossimilhanca_normal.png)

Na parte superior, cada curva representa um modelo candidato. Os pontos sobre as curvas mostram a **densidade atribuída a cada observação**.

Para avaliar o conjunto dos dados, multiplicamos essas densidades:

$$
L(\mu)=f(8\mid\mu)\,f(10\mid\mu)\,f(12\mid\mu)
$$

A parte inferior mostra esse produto enquanto variamos a média candidata.

O máximo ocorre em:

$$
\boxed{\hat\mu=\bar x=\frac{8+10+12}{3}=10}
$$

**Para uma amostra de uma distribuição normal, a estimativa de máxima verossimilhança da média é a média aritmética dos dados.**

Como estamos trabalhando com uma variável contínua, usamos **densidades**, e não probabilidades de valores exatos. Na distribuição normal, a probabilidade de observar exatamente um único valor é zero; probabilidades são calculadas para intervalos.

## 4. Como encontramos o máximo matematicamente?

Em geral, para observações independentes $x_1,\ldots,x_n$, temos:

$$
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i\mid\theta)
$$

Aqui, $\theta$ representa o parâmetro desconhecido. Queremos encontrar:

$$
\boxed{\hat\theta=\underset{\theta}{\operatorname{arg\,max}}\,L(\theta)}
$$

“Arg max” significa **o valor do parâmetro no qual a função atinge seu máximo**.

É comum usar o logaritmo da verossimilhança:

$$
\ell(\theta)=\log L(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\log f(x_i\mid\theta)
$$

Isso transforma produtos em somas. Como o logaritmo é crescente, **maximizar $L$ ou $\log L$ produz o mesmo resultado**.

Para a moeda:

$$
\ell(p)=7\log p+3\log(1-p)
$$

Derivando e igualando a zero:

$$
\frac{7}{p}-\frac{3}{1-p}=0
\quad\Longrightarrow\quad
7(1-p)=3p
\quad\Longrightarrow\quad
\boxed{\hat p=0{,}70}
$$

## 5. Um exemplo simples em Python

Podemos encontrar aproximadamente o máximo testando muitos valores candidatos:

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

caras = 7
coroas = 3

# Valores candidatos para a probabilidade de cara
p = np.linspace(0, 1, 1001)

# Dados fixos; parâmetro p variável
L = p**caras * (1 - p)**coroas

# Índice do maior valor de verossimilhança
indice = np.argmax(L)
p_estimado = p[indice]

print(f"Estimativa de máxima verossimilhança: {p_estimado:.2f}")

plt.plot(p, L)
plt.axvline(p_estimado, color="red", linestyle="--")
plt.xlabel("Probabilidade de cara (p)")
plt.ylabel("Verossimilhança L(p)")
plt.title("7 caras e 3 coroas")
plt.grid(alpha=0.3)
plt.show()
```

Resultado:

```text
Estimativa de máxima verossimilhança: 0.70
```