\documentclass[11pt,aspectratio=169]{beamer}
\usetheme{Berkeley}
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\usepackage[portuguese]{babel} %[portuguese]{babel} ou [brazilian]{babel}
\usepackage{breqn} %necessario para usar o ambiente 'dmath'
\author{Prf. Dr. Osvaldo Vargas Jaques}
\title{Análise de Componentes Principais - PCA}
%\setbeamercovered{transparent} 
%\setbeamertemplate{navigation symbols}{} 
\logo{\includegraphics[width=1.6cm,height=1.6cm]{GPCAcluster2.jpg}} 
\institute{Ciência da Computação - UEMS}
\date{\today} 
%\subject{Teste} 
\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage{}
%\maketitle
\end{frame}

\begin{frame}{Tópicos}
%\maketitle
\begin{itemize}
\item Variáveis
\item Variância e Covariância
\item Matriz de Covariância aplicando operações matriciais
\item Coeficiente de Correlação
\item Algumas Propriedades Matriciais
\item Decomposição Espectral
\item Transformada Karhunen-Loève
\item Análise de Componentes Principais
\item Referências

\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{Variáveis} %tiulo do frame entre { }


Uma variável aleatória $X_i$ é o vetor linha 



\begin{equation}
X_i=\left[ \begin{array}{cccc}
x_{i1} & x_{i2} & \cdots & x_{in}
\end{array} \right]
\end{equation} 

\begin{exampleblock}{Exemplo}
\begin{eqnarray}
X_2=Peso=\left[ \begin{array}{cccccc}
70 & 75 & 80 & 55 & 90 & 80
\end{array} \right], 
%\label{eq:dadosX}
\end{eqnarray}
$X_2$ tem $n=6$ observações ou instâncias.
\end{exampleblock}


\end{frame}

\begin{frame}{Variáveis}
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}
Um vetor de variáveis aleatórias $X$ é o vetor 
\begin{eqnarray}
X=\left[\begin{array}{c}
X_1 \\ 
X_2 \\ 
\vdots \\ 
X_p
\end{array}  \right],
\end{eqnarray} 
veja que existem $p$ variáveis (linhas) e cada $X_i$ tem $n$ observações (colunas). Pode-se dizer que $X$ é uma matriz $pxn$.

\begin{exampleblock}{Exemplo}
{\small
%\[
\begin{eqnarray}
X=\left[\begin{array}{c}
Altura \\ 
Peso \\ 
Cintura
\end{array}  \right]=\left[\begin{array}{cccccc}
1.70 & 1.54 & 1.90 & 1.55 & 1.70 & 1.75 \\ 
70 & 75 & 80 & 55 & 90 & 80 \\
36 & 49 & 40 & 38 & 29 & 35
\end{array}  \right], 
\label{eq:dadosX}
\end{eqnarray}
%\]
neste caso, $p=3$ variáveis e $n=6$ observações.}
\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}{Variância e Covariância}
Variância $\sigma^{2}_{X_i}$ é a medida de variação de uma variável aleatória $X_i$. Mede o quanto os valores de $X_i$ estão dispersos.

\begin{equation} 
\sigma^{2}_{X_i}=\dfrac{1}{n}\sum (X_i - \mu_{X_i})^2=\frac{1}{n}\left[X_i-\mu_{X_i}\right]\left[X_i-\mu_{X_i}\right]',
\end{equation}
sendo $\mu_{X}$ a média de $X$ e $[X_i -\mu_{X_i}]'$ o transposto de $[X_i -\mu_{X_i}]$.\linebreak 

A raiz quadrada de $\sigma^{2}_{X}$ é o desvio padrão
\begin{equation}
\sigma_X=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum (X - \mu_{X})^2}
\end{equation}


%\begin{tabular}{|c|c|}
%\hline 
%• & • \\ 
%\hline 
%• & • \\ 
%\hline 
%\end{tabular} 

%\begin{tabbing}
%\hspace{2}\=\kill
% • \> •
%\end{tabbing} 



%\begin{block}{Matriz de Covariância}

%\end{block}

\end{frame}

\begin{frame}{Variância e Covariância}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo

A covariância $\sigma_{XY}$ mede o quão fortemente duas variáveis $X$ e $Y$ estão relacionadas.
\begin{equation}
\sigma_{XY}=\dfrac{1}{n}\sum (X - \mu_{X})(Y - \mu_{Y})
\end{equation}


Se $X=Y$, $\sigma_{XX}=\sigma^{2}_{X}$, que é a variância de $X$ .\linebreak



%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}

\end{frame}
\begin{frame}{Matriz de Covariância}
Na Matriz de Covariância $K_{p x p}$ tem os elementos $C_{X_iX_j}$, sendo $X_i$ e $X_j$  elementos de um vetor de variáveis aleatórias.

\begin{exampleblock}{Dado o vetor X do exemplo anterior} 
{\small

\begin{eqnarray}
K=\left[\begin{array}{ccc}
C_{AlturaAltura} & C_{Altura,Peso} & C_{Altura,Cintura} \\ 
C_{PesoAltura} & C_{PesoPeso} & C_{PesoCintura}\\
C_{CinturaAltura} & C_{CinturaPeso} & C_{CinturaCintura}
\end{array}\right].
\end{eqnarray} 

\begin{eqnarray}
K=\left[\begin{array}{cccc}
C_{X_1X_1} & C_{X_1X_2} & \cdots & C_{X_1X_p} \\ 
C_{X_2X_1} & C_{X_2X_2} & \cdots & C_{X_2X_p} \\
   \vdots  &     \vdots & \ddots &   \vdots   \\
C_{X_pX_1} & C_{X_pX_2} & \cdots & C_{X_pX_p}
\end{array}\right].
\end{eqnarray} 


Na diagonal principal de $K$ temos a variância de $X_i$.}
\end{exampleblock}

\end{frame}

\begin{frame}{Matriz de Covariância aplicando operações matriciais}

Dada uma \textit{matriz de dados} $A_{n,p}$, tendo $p$ atributos e $n$ observações, o que temos que fazer é encontrar a média de cada coluna de $A$, através de algum software próprio para isso, como por exemplo o matlab, scilab, octave ou python. Seja $\vec{\mu}_a=[\mu_1 \mbox{ } \mu_2 \mbox{ } \cdots \mbox{ } \mu_p]$ o vetor linha de médias de cada coluna de A.

Para calcular os desvios a partir da média primeiro precisamos de uma matriz com  $n$ linhas do vetor de médias. Seja $\vec{b}=\left[\begin{array}{c}
1\\
1\\
\vdots\\
1
\end{array}\right]$ um vetor com $n$ termos igual a $1$. 


\end{frame}

\begin{frame}{Matriz de Covariância aplicando operações matriciais}
Fazendo 
\begin{equation}
M=\vec{b}\vec{\mu}_a =\left[\begin{array}{c}
1\\
1\\
\vdots\\
1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}
\mu_1 & \mu_2 & \hdots & \mu_p \end{array}  \right]= \left[\begin{array}{cccc}
\mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_p\\
\mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_p\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
\mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_p
\end{array}\right] \end{equation}
 teremos uma matriz $M$ de $n$ linhas de $\vec{\mu}_a$.

\
\\
Assim, podemos ter a matriz de covariância $C$, fazendo

\begin{equation}
C=\frac{1}{n}(A-M)'(A-M)
\end{equation}

\end{frame}


\begin{frame}{Coeficiente de Correlação}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo

Quando as unidades de medidades das variáveis são diferentes o melhor é usar o coeficiente de correlação que padroniza as variáveis. O coeficiente de correlação entre $X$ e $Y$ é
\begin{equation}
\rho_{XY}=\dfrac{1}{n}\sum \dfrac{(X - \mu_{X})}{\sigma_X}\dfrac{(Y - \mu_{Y})}{\sigma_Y}.
\end{equation}

O coeficiente de correlação varia de $-1$ a $1$. Se $X=Y$, $\rho_{XX}=1$.\linebreak


\end{frame}

\begin{frame}{Matriz de Correlação}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}
Na Matriz de Correlação $R_{p x p}$ tem os elementos $\rho_{X_iX_j}$, sendo $X_i$ e $X_j$  elementos de um vetor de variáveis aleatórias.

\begin{equation}
R=\dfrac{1}{n}\sum \dfrac{(X_i - \mu_{X_i})}{\sigma_{X_i}}\dfrac{(X_j - \mu_{X_j})}{\sigma_{X_j}}=\rho_{X_i}\rho_{X_j}.
\end{equation}

\begin{exampleblock}{Dado o vetor X da equação \ref{eq:dadosX}} 
{\small
\begin{eqnarray}
R=\left[\begin{array}{ccc}
1 & \rho_{AlturaPeso} & \rho_{AlturaCintura} \\ 
\rho_{PesoAltura} & 1 & \rho_{PesoCintura}\\
\rho_{CinturaAltura} & \rho_{CinturaPeso} & 1
\end{array}\right].
\end{eqnarray} }

\end{exampleblock}



%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}
\end{frame}


\begin{frame}{Matriz de correlação}
\begin{eqnarray}
R=\left[\begin{array}{cccc}
\rho_{X_1X_1} & \rho_{X_1X_2} & \cdots & \rho_{X_1X_p} \\ 
\rho_{X_2X_1} & \rho_{X_2X_2} & \cdots & \rho_{X_2X_p} \\
   \vdots  &     \vdots & \ddots &   \vdots   \\
\rho_{X_pX_1} & \rho_{X_pX_2} & \cdots & \rho_{X_pX_p}
\end{array}\right].
\end{eqnarray} 
Na diagonal principal de $R$ temos $\rho_{{X_i}{X_i}}=1$.

\end{frame}


%\begin{frame}{Algumas Propriedades Matriciais}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}

%\end{frame}




\begin{frame}{Algumas Propriedades Matriciais}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}
Seja uma matriz $X$ e uma matriz $Y$, tal que $Y$ seja uma transformada de $X$. Ou seja,
\begin{equation}
Y=BX
\end{equation}

Então são válidas as seguintes propriedades:
\begin{eqnarray}
\mu_Y=B\mu_X \\
K_{Y}=BK_{X}B^{'} \label{eq:covB}
\end{eqnarray}

onde $\mu$ é a média das observações, $K_Y$ e $K_X$, as matrizes de covariâncias.
\end{frame}


\begin{frame}{Algumas Propriedades Matriciais}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}
Seja uma matriz quadrada $A_{pxp}$ então esta matriz possui um escalar $\lambda$ e um vetor $\overrightarrow{v}$ tal que:
\begin{equation}
A\overrightarrow{v}=\lambda\overrightarrow{v}
\end{equation}
$\lambda$ e $\overrightarrow{v}$ são chamados de autovalor e autovetor de $A$.

Sendo $D$ uma matriz com os autovalores em diagonal e $V$ o conjunto de autovetores associados, valem as seguintes propriedades:
\begin{equation}
AV=VD \label{eq:AVVD}
\end{equation}


\end{frame}

\begin{frame}{Algumas Propriedades Matriciais}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}

Sendo
$
V=\left[ 
\begin{array}{cccc}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \cdots & \vec{e}_p
\end{array}
\right]
=\left[
\begin{array}{cccc}
 e_{11}  &  e_{21} &  \cdots & e_{p1} \\
 e_{12}  &  e_{22} &  \cdots & e_{p1} \\
 e_{13}  &  e_{23} & \cdots  & e_{p1} \\
\vdots   & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
 e_{1p}  &  e_{2p} & \cdots  & e_{pp}
\end{array}
\right]
$


e $
D=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1 &          0 &   \cdots & 0 \\
0         & \lambda_2  &   \cdots & 0 \\
\vdots    &    \vdots  &   \ddots & \vdots \\
0         &    0       & \cdots & \lambda_p
\end{array}\right]
$. Repare que cada vetor $\vec{e}_i$ é um vetor coluna, ou simplesmente vetor.



\end{frame}


\begin{frame}{Decomposição Espectral}

O espectro de uma matriz é o conjunto de seus autovalores.
Um teorema muito importante em álgebra matricial e de fundamental importância em estatística multivariada é o da decomposição espectral, que relaciona a matriz com seus autovalores e autovetores.  \linebreak

Seja $K_{pxp}$ uma matriz de covariâncias e uma matriz ortogonal $O_{pxp}$, isto é $O^{'}O=OO^{'}=I_{pxp}$, tal que:
\begin{equation}
KO=O\Lambda \label{eq:KOOL}
\end{equation}

\end{frame}

\begin{frame}{Decomposição Espectral}
Logo, vemos que  (\ref{eq:KOOL}), é semelhante a (\ref{eq:AVVD}). Multiplicando (\ref{eq:KOOL}) por $O^{'}$ pela esquerda, resulta no teorema abaixo.
\linebreak

\textbf{Para toda matriz de covariância $K_{pxp}$ existe uma matriz ortogonal tal que:} 

\begin{equation}
O^{'}KO=\left[\begin{array}{cccc}
\lambda_1 &          0 &   \cdots & 0 \\
0         & \lambda_2  &   \cdots & 0 \\
\vdots    &    \vdots  &   \ddots & \vdots \\
0         &    0       & \cdots & \lambda_p
\end{array}\right]=\Lambda \label{eq:OKO}
\end{equation}

onde $\lambda_1\geq\lambda_2\geq \cdots \geq\lambda_p$ são os autovalores ordenados em ordem decrescente da matriz $K_{pxp}$. Neste caso, dizemos que a matriz $K_{pxp}$ é similar à matriz $\Lambda$. 
\end{frame}

\begin{frame}{Decomposição Espectral}

Isso implica em dizer que:
\begin{enumerate}[I.]
\item   $\vec{e_i}'\vec{e_i}=1$
\item   $\vec{e_i}'\vec{e_j}=0 \textrm{, }i\neq j$
\item  $det(K)=|K|=\displaystyle \prod_{i=1}^p\lambda_i$
\item  $tra\textrm{ç}o(K)=\displaystyle \sum_{i=1}^{p}\lambda_i$
\end{enumerate}




%\newcounter{quest}
%\begin{list}{(\Roman{quest})}{\usecounter{quest}}
%\end{list}
%\begin{enumerate}[A | a |I |i | 1]


\end{frame}

\begin{frame}{Decomposição Espectral}
A $i$-ésima coluna da matriz O é o autovetor normalizado $\vec{e}_i$, corresponde ao autovetor $\lambda_i$, que é denotado por $\vec{e}_i=\left[\begin{array}{c}
e_{i1} \\ 
e_{i2} \\ 
\vdots \\ 
e_{ip}
\end{array}\right]$

Então a matriz $O_{pxp}$ é dada por 
$O=\left[ 
\begin{array}{cccc}
\vec{e}_1 & \vec{e}_2 & \cdots & \vec{e}_p
\end{array}
\right]$ e pelo teorema de decomposição espectral, a matriz de covariância pode ser \textit{\textbf{decomposta}} como uma soma de várias matrizes $M_{i_{(pxp)}}=\vec{e_i}\vec{e_i}'$ multiplicadas pelos seus autovalores $\lambda_i$ correspondentes. Ou seja, da propriedade (\ref{eq:OKO}), resulta que:
\begin{equation}
\begin{array}{ccccccccccccc}
K_X & = & O \Lambda O' & = & \displaystyle \sum_{i=1}^p \lambda_i \vec{e_i} \vec{e_i}' & = & \lambda_1\vec{e_1}\vec{e_1}' & + & \lambda_2\vec{e_2}\vec{e_2}' & + & \cdots &+& \lambda_p\vec{e_p}\vec{e_p}' \\
&  &  &  &  & = & \lambda_1 M_1 & + & \lambda_2 M_2 & + & \cdots & + & \lambda_p M_p  
\end{array}  
\end{equation}

%\begin{equation}
%K_X = O \Lambda O' = \displaystyle \sum_{i=1}^p \lambda_i \vec{e_i} \vec{e_i}'=\lambda_1\vec{e_1}\vec{e_1}'+\lambda_2\vec{e_2}\vec{e_2}'+\cdots+\lambda_p\vec{e_p}\vec{e_p}'
  
%\end{equation}

\end{frame}

%\begin{figure}[h]
%\subfigure[Primeira\label{fig:pri}]{\includegraphics{fig1.jpg}}
%\subfigure[Segunda\label{fig:seg}]{\includegraphics{fig2.jpg}}
%\center{\subfigure[Terceira\label{fig:ter}]{\includegraphics{fig3.jpg}}}
%\caption{Conjunto de figuras}\label{fig:conj}
%\end{figure}

%TABELA
%\begin{tabular}{|c|c|}
%\hline 
%• & • \\ 
%\hline 
%• & • \\ 
%\hline 
%\end{tabular} 

%TABULAÇÃO
%\begin{tabbing}
%\hspace{2}\=\kill
% • \> •
%\end{tabbing} 


%\begin{columns}
%\column[.5\textwidth]
%...
%\column[.3\textwidth]
%...
%\column[.2\textwidth]
%...
%\end{columns}





\begin{frame}{Transformada Karhunen-Loève}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}
Queremos obter um vetor de variáveis aleatórias $Y$ tal que
\begin{equation} Y=O'X, \end{equation}
sendo $O$ o conjunto de autovetores ortogonais de $K_X$ correspondente aos autovalores $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots \geq \lambda_p$ e $O'$ o conjunto transposto.
Assim, de (\ref{eq:KOOL}) $ K_XO=O\Lambda $ e de (\ref{eq:OKO}) 

\begin{equation}
 O'K_XO=\Lambda \label{eq:OKXO}
\end{equation}


Vemos que (\ref{eq:OKXO}) corresponde a propriedade (\ref{eq:covB}). Logo,
\begin{equation} K_y=O'K_XO=\Lambda \end{equation}

\end{frame}

\begin{frame}{Transformada Karhunen-Loève}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}
O vetor $Y$ é composto de $p$ combinações lineares das variáveis aleatórias do vetor $X$, tem vetor de médias igual a $O^{'}\mu$ e matriz de covariâncias $\Lambda_{pxp}$ que é uma matriz diagonal, cujos elementos $a_{ii}=\lambda_i$, isto é, 
\begin{equation}
\Lambda_{pxp}=\left[
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ 
 \vdots & \vdots &\ddots & \vdots \\ 
 0 & 0 & \cdots & \lambda_p
\end{array} \right]
\end{equation}

Portanto, as variáveis aleatórias que constituem o vetor $Y$ não são correlacionadas entre si. Deste modo, surge a idéia de utilizar as combinações lineares em $Y$ como uma forma alternativa de se representar a estrutura de covariâncias do vetor $X$.



\end{frame}

\begin{frame}{Transformada Karhunen-Loève}

Os vetores aleatórios, $X$ e $Y$, tem a mesma variância total e a mesma variância generalizada, sendo que o vetor $Y$ tem a vantagem de ser composto por variáveis aleatórias não correlacionadas, facilitando portanto, a interpretação conjunta dessas.
Esta operação é também conhecida como Karhunen-Loève Transform (KLT).
Resumidamente, a KLT serve para rotacionar os eixos por ordem decrescente de variância. Em processamento de imagens, isto auxiliaria na identificação de formas, uma vez que estas estarão orientadas decrescentemente por variância de seus eixos. 
\linebreak
	
\begin{figure}[!htbp]
    \center
    \subfigure{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{DadosBrutos.png}}
    \qquad
    \subfigure{\includegraphics[width=0.2\textwidth]{DadosRotacionados.png}}
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}{Transformada Karhunen-Loève}
%\framesubtitle{XYZ} % subtitulo
%\titlepage{Algumas Propriedades Matriciais}

Sabendo que 
\begin{equation}
Y=O'X=\left[ 
\begin{array}{c}
\vec{e_1}' \\ \vec{e_2}' \\ \vdots \\ \vec{e_p}'
\end{array}
\right]X
=\left[
\begin{array}{cccc}
 e_{11}  &  e_{12} &  \cdots & e_{1p} \\
 e_{21}  &  e_{22} &  \cdots & e_{2p} \\
 e_{31}  &  e_{32} & \cdots  & e_{3p} \\
\vdots   & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
 e_{p1}  &  e_{p2} & \cdots  & e_{pp}
\end{array}
\right]X \label{eq:AutovetX}
\end{equation}

Vemos que a $j$-ésima componente principal da matriz $K_{pxp}$ é definida como
\begin{equation}
Y_j=\vec{e_j}^{'}X=e_{j1}X_1+e_{j2}X_2+\cdots+e_{jp}X_p
\end{equation}


\end{frame}
\begin{frame}{Transformada Karhunen-Loève}
A proporção da variância total de $X$ que é explicada pela $i$-ésima componente principal é definida como:
\begin{equation}
pv_i=\dfrac{\lambda_i}{\displaystyle \sum_{j=1}^{p} \lambda_j}
\end{equation}

A proporção de variância total que é explicada pelas $k$ primeiras componentes  principais é definida por:
\begin{equation}
pvt_{k}=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^{k}{\lambda_i}}{\displaystyle \sum_{j=1}^{p} \lambda_j}
\end{equation}



\end{frame}
\begin{frame}{Análise de Componentes Principais}
Usando as combinações lineares em Y, surge também a ideia de reduzir o espaço de variáveis, passando da dimensão $p$ para a dimensão $k$, sendo $k<p$. Portanto,ao invés de utilizar o vetor aleatório original na análise de dados, utiliza-se $k$ combinações lineares de componentes principais, pegando somente os autovetores mais significativos. Esta ordem de significância ou de explicação é dada pelos autovalores ordenados. Este processo é conhecido como Principal Components Anlysis (PCA) ou simplesmente Análise de Componentes Principais.\linebreak

De (\ref{eq:AutovetX}), se tomarmos os $k<p$ autovalores, teríamos
\begin{equation}
{
Y=\left[ 
\begin{array}{c}
\vec{e_1}'  \\ \vec{e_2}' \\ \vdots \\ \vec{e_k}'
\end{array}
\right]X=
\left[
\begin{array}{cccc}
 e_{11}  &  e_{12} &  \cdots & e_{1p} \\
 e_{21}  &  e_{22} &  \cdots & e_{2p} \\
 \vdots   & \vdots  & \ddots  & \vdots \\
 e_{k1}  &  e_{k2} & \cdots  & e_{kp}
\end{array}
\right]X \label{eq:PCA}}
\end{equation}

\textbf{Veja que foram retirados os vetores $\vec{e}_{k+1}, \cdots, \vec{e}_p$.}

\end{frame}

\begin{frame}{Análise de Componentes Principais}
Da operação (\ref{eq:PCA}) vemos que que resultaria em um vetor $Y_{k x n}$, reduzindo assim a dimensão dos dados. Ou seja, ao invés de $p$ variáveis, lidaremos agora com $k<p$ variáveis.
\linebreak

A redução das dimensões facilita a análise de dados. Diferentes critérios podem ser usado na escolha desse $k$ mas um dos modos mais comuns é escolher um $k$ tal que $pvt_{k} \geq 70\%$.
\linebreak

Geralmente como a PCA e KLT estão interligados, o termo PCA é usado como um sinônimo de ambos. Mas, na realidade, a PCA utiliza a KLT e a Teoria da Decomposição Espectral para reduzir a dimensão dos dados.
\end{frame}



\begin{frame}{Referências}
\begin{itemize}
\item MINGOTI, Sueli A. \textbf{Análise de dados através de estatística multivariada: uma abordagem aplicada.} Belo Horizonte, Editora UFMG, 2005.
\linebreak
\item LATTIN, James; CARROL, Douglas C.; GREEN, Paul E. \textbf{Análise de dados multivariados.} São Paulo, Cencage Learning, 2011.
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}